시스템 모델링: 1차와 2차 시스템

제어기를 설계하려면 플랜트가 입력에 어떻게 반응하는지 수식으로 알아야 합니다. 대부분의 실제 시스템은 1차나 2차 시스템으로 근사할 수 있습니다.

1차 시스템

τ·dy/dt + y = K·u

예	K (이득)	τ (시정수)
RC 회로	1	RC
DC 모터 속도	전압당 속도	기계적 시정수 J·R/(Kt·Ke)
히터 온도	전력당 온도	열용량 × 열저항

계단 입력을 주면 τ에 63%, 5τ에 99% 도달합니다. 계단 응답 한 번만 측정하면 K와 τ를 바로 구할 수 있습니다.

2차 시스템

d²y/dt² + 2ζωn·dy/dt + ωn²·y = ωn²·K·u

• ωn (고유 주파수): 얼마나 빨리 움직이는가
• ζ (감쇠비): 1보다 작으면 출렁이며(오버슈트) 들어가고, 1 이상이면 출렁임 없이 들어감

모터 위치(속도를 적분), 스프링에 달린 물체, LC 필터가 2차 시스템입니다.

실무에서 모델 얻기

1. 데이터시트 값으로 계산 (모터 R, L, Kt, J)
2. 계단 응답 실측으로 맞추기 (시스템 식별)
3. 두 결과가 크게 다르면 측정이나 가정을 의심합니다

모델이 대략만 맞아도 PID 초기 게인을 정하고 시뮬레이션으로 확인할 수 있습니다.